Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a＞b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC₁；AB与A₁C₁；AB与B₁C．
（2）异面直线D₁B与AC所成角的余弦值．

Answer

（1）：主要是掌握异面直线距离的基本概念是两条直线的公垂线段，题中有的直接读出来（前两个有公垂线段），题中没有的话得先作出来再利用空间向量来求（第三个没有公垂线段）；
（2）解法一连接转化：要求异面直线D1B与AC所成角的余弦值，先找异面直线D1B与AC所成角即找出连DD1的中点F，连接OF、AF，∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角．然后利用空间向量求角；
解法二利用添加法：在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连接BG、D1G，则AC∥BG，∴∠D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角．利用空间向量求角即可．
（1）【解析】
BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b．
AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c．
过B作BE⊥B1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE==，即AB与B1C的距离为．

（2）解法一：连接BD交AC于点O，取DD1的中点F，连接OF、AF，则OF∥D1B，
∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角．
∵AO=，OF=BD1=，AF=，
∴在△AOF中，cos∠AOF═．
解法二：如图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，
连接BG、D1G，则AC∥BG，∴∠D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角．
BD1=，BG=，D1G=，
在△D1BG中，cos∠D1BG==-，故所求的余弦值为．