Question

已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．

Answer

（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直
（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．
证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．
（2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EHBD．
又F、G分别是BC、DC的三等分点，
∴FGBD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE与GH相交．
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．
同理，O在平面ABC内．
从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．