Question

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

Answer

法一：（Ⅰ）要证平面PDC⊥平面PAD，只需证明平面PDC的中心CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA、AD即可；
（Ⅱ）CD的中点为F，连接EF、AF，说明∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角，解三角形求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上存在一点G，设BG=x，过点D作DM⊥AG于M．利用，推出线段DM的长是点D到平面PAG的距离为1．
法二：建立空间直角坐标系，推出证明CD⊥平面PAD，然后证明 平面PDC⊥平面PAD；利用求解（Ⅱ）．则G（1，x，0）．利用2S△ADG=S矩形ABCD，求出x的值，即可确定存在一点G．
法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．（1分）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．（3分）
又∵CD⊂平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）【解析】
设CD的中点为F，连接EF、AF．
∵E是PD中点，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角．（7分）
由PA=AB=1，BC=2，计算得，，，，（9分）
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为．（10分）
（Ⅲ）【解析】
假设在BC边上存在点G，使得点D到平面PAG的距离为1．
设BG=x，过点D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，PA∩AG=A．
∴DM⊥平面PAG．
∴线段DM的长是点D到平面PAG的距离，即DM=1．（12分）
又，
解得．
所以，存在点G且当时，使得点D到平面PAG的距离为1．（14分）
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），
B（1，0，0），C（1，2，0），
D（0，2，0），E（0，1，），
P（0，0，1）．
∴=（-1，0，0），=（0，2，0），=（0，0，1），=（0，1，），
=（1，2，-1）．（2分）
（Ⅰ）∵，
∴CD⊥AD．
∵，
∴CD⊥AP．
又AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（5分）
∵CD⊂平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）∵=，（9分）
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为．（10分）
（Ⅲ）假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG=x，则G（1，x，0）．
作DQ⊥AG于Q，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ．
又PA∩AG=A，
∴DQ⊥面PAG．
∴线段DQ的长是点D到平面PAG的距离，即DQ=1．（12分）
∵2S△ADG=S矩形ABCD，
∴．
∴．
又，
∴．
故存在点G，当BG=时，使点D到平面PAG的距离为1．（14分）