Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F．
（1）求证：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；
（2）求直线AA₁到平面B₁BCC₁的距离．

Answer

（1）欲证平面A1EF⊥平面B1BCC1，根据面面垂直的判定定理可知在平面B1BCC1内一直线与平面A1EF垂直，而根据线面垂直的判定定理可知CC1⊥平面A1EF；
（2）作A1H⊥EF于H，根据线面垂直的性质定理可知A1H⊥面B1BCC1，则A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，求出EF，然后根据△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，得到A1H=EF，即可求出所求．
【解析】

（1）证明：CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，
∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，
∴平面A1EF⊥平面B1BCC1
（2）作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，
∴A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，A1E=A1F=，EF=2，
∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，
∴A1H为斜边上中线，可得A1H=EF=1