Question

田忌和齐王赛马是历史上有名的故事．设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c．两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．
（1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；
（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？

Answer

（1）由题意知这是一个古典概型，试验包含的所有事件是可以通过列举得到，在列举出的结果中，看出符合条件的是哪些，结果只有一种，根据古典概型公式得到结果．
（2）齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，后两场包括两种情况，分别做出概率，得到结果．
【解析】
记A与a比赛为（A，a），其它同理
（l）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：
（A，a），（B，b），（C，c）；（A，a），（B，c），（C，b）；
（A，b），（B，c），（C，a）；（A，b），（B，a），（C，c）；
（A，c），（B，a），（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）．
其中田忌获胜的只有一种：（A，c），（B，a），（C，b）．
∴田忌获胜的概率为．
（2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，
则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c．
后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马B，
可能的对阵为：（B，a），（C，b）或（B，b），（C，a）．
田忌获胜的概率为．
②若齐王第二场派出下等马C，
可能的对阵为：（C，a），（B，b）或（C，b），（B，a）．
田忌获胜的概率也为．
∴田忌按c，a，b或c，b，a的顺序出马，
才能使自己获胜的概率达到最大．