Question

已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2010，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer

对（1）要先对函数求导，然后分k为奇偶数讨论导函数大于和小于零时的自变量范围，由此即可获得解答；
对（2）利用k=2010先将方程化简，从而得到函数g（x）=f（x）-2ax=x2-2axlnx-2ax有唯一的零点，进而将问题转化为函数的零点问题，然后利用导数知识分析单调性，从而结合求解即可．
【解析】
（1）由已知得x＞0且．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，则．
所以当x∈时，f′（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f（x）在上是减函数，
在（，+∞）上是增函数．
（2）若k=2010，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）．
记g（x）=f（x）-2ax=x2-2axlnx-2ax，
，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以（舍去），
．
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）min=g（x2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则即
两式相减得alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，从而解得．