Question

已知函数，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x．
（1）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer

（1）研究g（x）＜0，转化成研究函数g（x）的最大值，从而研究g′（x）的符号，求出g′（x）的最小值，得到g（x）在（0，+∞）上的单调性，求出g（x）的最大值即可．
（2）连续可导函数，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值即可．
【解析】
（1）g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，
则g′（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，
则．（1分）
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．（3分）
所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，
所以g′（x）＜0（x≠0），
函数g（x）在（0，+∞）上为减函数．（4分）
当x＞0时，g（x）＜g（0）=0．（5分）
（2）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），
，（6分）
由（1）知，
当-1＜x＜0时，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x＞g（0）=0，
当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，所以，当-1＜x＜0时，
f′（x）＞0∴f（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上为减函数．（8分）
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），
单调递减区间为（0，+∞）．故x=0时f（x）有极大值0．（10分）