Question

数列{a_n}对一切自然数n都满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=9-6n
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）若b_n=|，求证：b₁+b₂+…+b_2n-1＞1．

Answer

（1）先用赋值法猜出an的通项公式，再利用数学归纳法进行证明．
（2）由an与bn的关系得出bn的通项公式．再利用的特点将问题转化为求等比数列的前n项和，进而解决问题．
【解析】
（1）当n=1时，a1=9-6×1=3；当n=2时，a1+2a2=9-6×2=-3解得：a2=-3；
当n=3时，a1+2a2+22a3=9-6×3=-9解得：a3=-；
当n=4时，a1+2a2+22a3+23a4=9-6×4=-15解得：a4=-…
猜想：
用数学归纳法证明如下：
①当n=2时，=-3猜想成立；
②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，则a1+2a2+22a3+…+2k-1ak=9-6k；
那么当n=k+1时，a1+2a2+22a3+…+2k-1ak+2kak+1=
=9-6k-6=9-6（k+1）
即当n=k+1时猜想成立．
由①②可知：当n≥2时猜想成立．
∴
（2）由（1）知：
∴①当n=1时，b1=3＞1满足题意．
  ②当n≥2时，b1+b2+b3+…+b2n-1=a1+a3+…+a2n-1=
==
又∵
∴
综上所述：b1+b2+b3+…+b2n-1＞1