Question

已知a＞0，a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列，令b_n=na_nlga（n∈N*）
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n．（2）若数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出数列{an}以及数列{bn}的通项，再对数列{bn}利用错位相减法求前n项和Sn．
（2）利用条件得到关于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1两种情况分别解不等式即可．
【解析】
（1）由题得：an=a•an-1=an，bn=nanlga=nanlga．
所以sn=alga+2×a2lga+3×a3lga+…+（n-1）an-1lga+nanlga，
故asn=a2lga+2×a3lga+3×a4lga+…+（n-1）anlga+nan+1lga，
两式作差得（1-a）sn=alga+a2lga+a3lga+…+anlga-nan+1lga=lga•-nan+1lga．
所以sn=lga-nlga．
（2）由bn＜bn+1⇒nlga•an＜（n+1）lga•an+1⇒lga•an[n-（n+1）a]＜0．
当0＜a＜1时，lga＜0，an＞0，⇒n-（n+1）a＞0⇒a＜，故0＜a＜
当a＞1时，lga＞0，an＞0，⇒n-（n+1）a＜0⇒a＞，故a＞1．
所以a的取值范围是a＞1或0＜a＜