Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=30°．
（I ）求证：EF丄PB；
（II ）试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积

Answer

（I）根据Rt△ABC中，EF∥BC，我们易得EF与对折后的PE，BE均垂直，进而得到EF与平面PBE垂直，再由线面垂直的定义得到结论．
（II）由AB=BC=4，∠PEB=30°，我们可以设PE=X，进而表示出四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积S（含参数X）然后根据函数的最值，侧面PEB的面积最大值时E的位置，及此时四棱锥P-EFCB的体积．
【解析】
（I）在RT△ABC中，
∵EF∥BC，AB⊥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP
又∵EB∩EP=E，
∴EF⊥平面PEB
∴EF⊥PB
（II）由（I）知EF⊥平面PEB，又∵EF⊂平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面PEB，
又∵平面BCFE∩平面PEB=BE
在平面PEB内，过P点作PD⊥BE于D
∴PD⊥平面BCFE
设PE=x，x∈（0，4），则BE=4-x
在RT△PED中，∵∠PEB=30°
∴PD=x，
∴S△PEB=×PD×BE=×（4-x）×x=
当且仅当x=2，即E为AB的中点时，△PED面积最大
此时PD=1
易得SEFCB=
∴VP-EFCB=×SEFCB×PD==2