Question

已知拋物线C：x²=2py（p＞0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3．
（I）求拋物线C的方程；
（II）过坐标平面上的点F′作拋物线C的两条切线l₁和l₂，分别交x轴于A，B两点．
（i ）若点F′的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或拋物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．

Answer

（I）先利用抛物线的定义求出p，即可求拋物线C的方程；
（II）（i ）先利用直线与圆相切求出切线l1和l2的方程，进而求出A，B两点的坐标，再求出过A，B，F′的圆的方程即可证明结论．
（ii）先由（i ）的提示写出命题：设F'为抛物线x2=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l1，l2分别交x轴与A，B两点，则△ABF′的外接圆过点F．再证明线段AB，AF'AF的垂直平分线交于一点M，即可证明结论．
【解析】
（I）由抛物线的定义得2-（-）=3，解得p=2，
故抛物线的方程为：x2=4y．
（II）（i ）由题得，过点F'（0，-1）且与曲线相切的直线的斜率存在，
设其方程为y=kx-1，
由得x2-4kx+4=0．
令△=0得k=±1．
故所求的两条切线分别为l1：y=x-1，l2，y=-x-1．
设l1交x轴与点A，则A（1，0）；l2交x轴与点B，则B（-1，0）．
设△ABF'的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
则.⇒．
故△ABF'的外接圆方程为x2+y2=1．它过点F（0，1）．
（ii）命题：设F'为抛物线x2=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l1，l2分别交x轴与A，B两点，则△ABF′的外接圆过点F．
证明：设l1，l2分别切抛物线x2=2py于P1（x1，y1），P（x2，y2）．
则x1≠0，x2≠0．
∵y'=，故l1，l2的方程分别为y-y1=（x-x1）和y-y2=（x-x2）．
解得A（，0）；B（，0）．
由，得F'（）
AB的垂直平分线方程为x=；
AF'的垂直平分线方程为y-=-（x-），
它们的交点为M（）．
又F（0，），故AF的中点为N（），所以=（），=（，）
∴==0．
故线段AB，AF'AF的垂直平分线交于一点M，即A，B，F'都在以M为圆心的圆上，
也就是说△ABF′的外接圆过点F．