Question

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱．
（I）证明FO∥平面CDE；
（II）设，证明EO⊥平面CDF．

Answer

（I）要证明FO∥平面CDE，在平面CDE中：取CD中点M，连接OM．证明FO∥EM即可；
（II）证明EO⊥平面CDF，只需证明EO⊥FM，CD⊥EO，即可证明结论．
【解析】
（I）证明：取CD中点M，连接OM．
在矩形ABCD中，，又，
则．连接EM，于是
四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM．
又因为FO不在平面CDE，且EM⊂平面CDE，
∴FO∥平面CDE．

（II）证明：连接FM．由（I）和已知条件，在等边△CDE中，
CM=DM，EM⊥CD且．
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM．
∵CD⊥OM，CD⊥EM，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．
而FM∩CD=M，
所以EO⊥平面CDF．