Question

数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n-3a_n²，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）若数列{a_n}为常数列，求a₁的值；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a_2n}单调递减．

Answer

（Ⅰ）由题意知an+1=an，，由此可推导出a=0，或．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（Ⅲ）因为a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，然后用分析法能够证明数列{a2n}单调递减．
【解析】
（Ⅰ）因为数列{an}为常数列，
所以an+1=an，，
解得an=0或，
由n的任意性知，a1=0或，
所以a=0，或；
（Ⅱ）用数学归纳法证明，
1当n=12时，3，符合上式，
②假设当n=k（k≥1）时，，
因为，
所以，
即，
从而，
即，
因为，
所以，当n=k+1时，成立，
由①，②知，；
（Ⅲ）因为a2n-a2n-2=3（3a2n-2-3a2n-22）-3（3a2n-2-3a2n-22）2-a2n-2=-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2（n≥2），
所以只要证明-27a2n-24+54a2n-23-36a2n-22+8a2n-2＜0，
由（Ⅱ）可知，a2n-2＞0，所以只要证明-27a2n-23+54a2n-22-36a2n-2+8＜0，
即只要证明27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0，
令f（x）=27x3-54x2+36x-8，
f'（x）=27×3x2-54×2x+36=9（9x2-12x+4）=9（3x-2）2≥0，
所以函数f（x）在R上单调递增，
因为，所以，
即27a2n-23-54a2n-22+36a2n-2-8＞0成立，
故a2n＜a2n-2，
所以数列{a2n}单调递减．