Question

如图，两个边长为1的正方形ABCD与ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M，N分别是BD，AE上的点，且AN=DM．
（1）求证：MN∥平面EBC；
（2）求MN长度的最小值．

Answer

（1）首先分别以BA，BC，BE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后确定点M、N的坐标，进而确定的坐标，再找到平面EBC的一个法向量，并确定它的坐标，最后计算为0即可．
（2）由的坐标表示出其长度，再利用配方法即可求出它的最小值．
（1）证明：依题意可分别以BA，BC，BE为x轴，y轴，z轴建立；
如图所示空间直角坐标系，
因为正方形ABCD与ABEF的边长为1，且AN=DM，
所以设BM=x，则NE=x，NA=-x，且x，
所以M（x，x，0），N（x，0，1-x），
所以=（0，-x，1-x），
因为平面EBC的一个法向量为=（1，0，0）
所以=0，即，
又MN⊄平面EBC，所以MN∥平面EBC．
（2）【解析】
由（1）=（0，-x，1-x），得
||==，
又x∈[0，]，所以当x=时，||min=．
即MN长度的最小值为．