Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁与a₄的一等比中项为，a₂与a₃的等差中项为6．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），请比较b_n与b_n+1的大小；
（Ⅲ）数列{a_n}中是否存在三项，按原顺序成等差数列？若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明．

Answer

（I）由题意得，解此方程组能够推导出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）a1=2，，bn=Sn+3+（-1）nan2=（2n+4-2）+（-1）n+122n，bn+1=（2n+5-2）+（-1）n22（n+1），
bn+1-bn=2n[16+5（-1）n2n]．由此能够推导出bn+1＜bn．
（Ⅲ）假设数列{an}中存在三项ak，am，an（k＜m＜n）成等差数列，则ak+an=2am，由k＜m＜n知1+2n-k为奇数，2m-k为偶数，从而某奇数=某偶数，产生矛盾．所以数列{an}中不存在三项，按原顺序成等差数列．
【解析】
（I）由题意得，
解得或-（2分）
由公比q＞1，可得a2=4，a3=8，．（3分）
故数列{an}的通项公式为an=a2qn-2=2n．（5分）

（Ⅱ）a1=2，，（6分）
bn=Sn+3+（-1）nan2=（2n+4-2）+（-1）n+122n，
bn+1=（2n+5-2）+（-1）n22（n+1），
bn+1-bn=2n[16+5（-1）n2n]．（8分）
当n=1或为正偶数时，bn+1-bn＞0，bn+1＞bn；-（9分）
当n正奇数且n≥3时，bn+1-bn=2n（16-5×2n）≤2n（16-5×23）＜0，bn+1＜bn．（10分）
（Ⅲ）假设数列{an}中存在三项ak，am，an（k＜m＜n）成等差数列，（11分）
则ak+an=2am，即2k+2n=2m，1+2n-k=2m-k，（12分）
由k＜m＜n知1+2n-k为奇数，2m-k为偶数，从而某奇数=某偶数，产生矛盾．（13分）
所以数列{an}中不存在三项，按原顺序成等差数列．（14分）