Question

已知函数f（x）=的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），把M的坐标代入切线方程即可求出f（-1）=-2，代入f（x）中，再根据切线的斜率为-得到f′（-1）=-，代入到f′（x）中，联立两者求出a与b的值即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）把a与b的值代入到f′（x）中求出导函数的解析式，让f′（x）大于0求出x的取值范围即为函数的递增区间；让f′（x）小于0求出x的取值范围即为函数的递减区间．
【解析】
（Ⅰ）由函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线的方程为x+2y+5=0，
得-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，而根据切线的斜率为-得到f′（-1）=-，
∵f′（x）=，
利用f（-1）=-2和f′（-1）=-联立得
∴解得，把a和b的值代入可得；
（II）f′（x）=，由f′（x）＞0得到3-2＜x＜3+2；
由f'（x）＜0得到，x＜3-2或x＞3+2
所以函数f（x）在（-∞，3-2），（3+2，+∞）上单调递减，在（3-2，3+2）上单调递增．