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三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB...

manfen5.com 满分网三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BCC1B1
(Ⅱ)求证:MN⊥平面A1B1C.
(Ⅰ)欲证MN||平面BCC1B1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC1B1内一直线平行即可,而连接BC1,AC1.根据中位线定理可知MN||BC1,又MN⊄平面BCC1B1满足定理所需条件; (Ⅱ)以B1为原点,A1B1为x轴,B1B为y轴,B1C1为z轴建立空间直角坐标系B1-xyz,求出平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z),而,根据法向量的意义可知MN⊥平面A1B1C. 证明:(Ⅰ)证明:连接BC1,AC1. 在△ABC1中,∵M,N是AB,A1C的中点,∴MN||BC1. 又∵MN⊄平面BCC1B1,∴MN||平面BCC1B1. (Ⅱ)如图,以B1为原点建立空间直角坐标系B1-xyz. 则B1(0,0,0),C(0,2,2),A1(-2,0,0),M(-1,0,2),N(-1,1,1) ∴=(0,2,2),,. 设平面A1B1C的法向量为n=(x,y,z). 令z=1,则x=0,y=-1,∴n=(0,-1,1). ∴.∴MN⊥平面A1B1C.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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