Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点
（1）若F为AA₁的中点，求证：EF∥面DD₁C₁C；
（2）若F为AA₁的中点，求二面角A-EC-D₁的余弦值．

Answer

（1）欲证EF∥面DD1C1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与面DD1C1C内一直线平行，连接A1B，根据中位线定理可知EF∥A1B，而A1B∥D1C则EF∥D1C，满足定理所需条件；
（2）设二面角A-EC-D1的大小为θ，设正方体的棱长为2，求出梯形EFD1C与梯形ADCE的面积，根据面积射影法求出二面角的平面角的余弦值即可．
【解析】

（1）证明：连接A1B；
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B （2分）
又A1B∥D1C∴EF∥D1C
∴EF∥面DD1C1C
（2）设二面角A-EC-D1的大小为θ，设正方体的棱长为2，
由（1）知F，D1，C，E四点共面，且四边形为等腰梯形，
又，
∴∴二面角A-EC-D1的余弦值为．