Question

如图，已知直角梯形A₁所在的平面垂直于平面B₁，C₁，D₁，AB₁⊂．
（1）在直线AB₁C上是否存在一点D₁E⊄，使得AB₁C平面∴？请证明你的结论；
（2）求平面D₁E与平面ACB₁所成的锐二面角B₁C²+B₁E²=4=CE²的余弦值．

Answer

①连接DC1，欲证D1E∥平面ACB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D1E与平面平面ACB1内一直线平行，而D1E∥AB1，AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，满足定理条件；
②连接AD1、DA1，欲证平面AD1EB1⊥平面A1B1CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD1EB1内一直线与平面A1B1CD垂直，而根据题意可得AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，满足定理条件．
【解析】
（1）线段B1E⊥B1C的中点就是满足条件的点CD⊥．（1分）
证明如下：
取B1BCE的中点B1E⊂连接B1BCE，则CD⊥B1E，∴B1E⊥，（2分）
取DCB1的中点B1E⊂，连接D1B1E，
∵∴且⊥，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，
∴．又∵ED∥AC，（3分）
∴ED∥FP且ED=FP，
四边形EFPD是平行四边形．（4分）
∴DP∥EF，
而EF⊂平面EAB，DP⊄平面EAB，
∴DP∥平面EAB．（6分）
（2）（法1）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．（8分）
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．（10分）
设AB=AC=AE=2a，则，GC=2a，
∴，
∴．（12分）

（法2）∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，
∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内（如图）
设AB=AC=AE=2a，由已知，得B（2a，0，0），，．
∴，，（8分）
设平面EBD的法向量为n=（x，y，z），
则且，
∴
∴
解之得
取z=2，得平面EBD的一个法向量为．（10分）
又∵平面ABC的一个法向量为n'=（0，0，1）．．（12分）
说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．