Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求证：D₁E∥平面ACB₁；
②求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁．

Answer

①连接DC1，欲证D1E∥平面ACB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D1E与平面平面ACB1内一直线平行，而D1E∥AB1，AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，满足定理条件；
②连接AD1、DA1，欲证平面AD1EB1⊥平面A1B1CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD1EB1内一直线与平面A1B1CD垂直，而根据题意可得AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，满足定理条件．
【解析】
①连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，
所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．
又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，
所以D1E∥AB1．
因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，
所以D1E∥平面ACB1．

②连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，
所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，
所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，
所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．