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已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等...

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}中bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn
本题是数列中的一道综合题,(1)的求解要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn-1+1两者作差得出an+1=3an,此处是的难点,数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d,即可, (II)中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用. 【解析】 (Ⅰ)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*), ∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n>1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1), ∴an+1-an=2an, ∴an+1=3an(n∈N*,n>1)(2分) 而a2=2a1+1=3=3a1, ∴an+1=3an(n∈N*) ∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, ∴an=3n-1(n∈N*)(4分) ∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中, ∵b1+b2+b3=15, ∴b2=5. 又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64(6分) 解得d=-10,或d=2, ∵bn>0(n∈N*), ∴舍去d=-10,取d=2, ∴b1=3, ∴bn=2n+1(n∈N*),(8分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知Tn=3×1+5×3+7×32++(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1① 3Tn=3×3+5×32+7×33++(2n-1)3n-1+(2n+1)3n②(10分) ①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n-1-(2n+1)3n(12分) =3+2(3+32+33++3n-1)-(2n+1)3n =, ∴Tn=n•3n(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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