Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA₁=2，AB=BC=1，E为A₁D的中点．
（1）试在线段CD上找一点F，使EF∥平面A₁BC，并说明理由；
（2）求证：CD⊥平面A₁ACC₁，并求四棱锥D-A₁ACC₁的体积．

Answer

（1）取CD的中点F，则EF是△DA1C的中位线，得到 EF∥A1C，从而证得 EF∥平面A1BC．
（2）由勾股定理证得 AC⊥CD，再由AA1垂直于底面得，AA1⊥CD，从而证得CD⊥平面A1ACC1，求出矩形A1ACC1的面积，四棱锥D-A1ACC1的高 CD，代入四棱锥D-A1ACC1的体积公式进行运算．
【解析】
（1）取CD的中点F，连接EF，则EF是△DA1C的中位线，∴EF∥A1C．∵A1C⊂面A1BC，
EF在面A1BC 外，∴EF∥平面A1BC．
（2）∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AA1=2，AB=BC=1，∴AC=CD=，
由勾股定理得 AC⊥CD．再由AA1垂直于底面得，AA1⊥CD．而AC和AA1是平面A1ACC1内的两条相交直线，
∴CD⊥平面A1ACC1．
矩形A1ACC1的面积等于  AA1×AC=2×=2，四棱锥D-A1ACC1的高 CD=，
四棱锥D-A1ACC1的体积为AA1×AC×CD=．