Question

有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（）=[h（）]′；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是（ ）
A．③
B．①③④
C．①③
D．②③

Answer

①若f（x）存在导函数，根据复合函数的导数可知f′（2x）=2[f（2x）]′②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin而[h（）]′=0，③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g'（x）中含（x-2010）的将2010代入都为0，则g′（2010）=2009!④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，进行逐一判定．
【解析】
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=2[f（2x）]′，故不正确；
②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则h′（）=-2sin=-1，而[h（）]′=0，故不正确
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g'（x）中含（x-2010）的将2010代入都为0，则g′（2010）=2009!故正确；
④若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f'（x）=0有两个不等的根即b2-3ac＞0，故不正确．
故选A