Question

已知函数f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（Ⅲ）设函数h（x）=f′（x），求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer

（Ⅰ）将“方程xf（x）-x3=2009的根”转化为：“函数y=lnx与y=”的交点，将“方程xex=2009的根”转化为：“函数y=ex与y=”的交点；最由KAB=-1，求得α•β
（Ⅱ）构造“函数F（x）=x2+lnx-x3”，将问题转化为：“F（x）≤0恒成立”，再用导数法，研究其单调性，求得其最大值即可．
（Ⅲ）当n=1时，左边=x++2，右边=x++2，不等式成立；当n≥2时，由[h（x）]n-h（xn）=（x+）n-（xn+）
=[Cn1（xn-2+）+Cn2（xn-4+）+…+Cnn-1（+xn-2）]作差比较．
【解析】
（Ⅰ）根据题意：易知y=lnx与y=的交点为A（α，），
y=ex与y=的交点为B（β，）；由KAB=-1，易知α•β=2009（4分）

（Ⅱ）设F（x）=x2+lnx-x3，则F′（x）=x+-2x2=
∵x＞1，F′（x）＜0∴F（x）在区间（1，+∝）上是减函数又∵F（1）=-＜0
∴x2+lnx-x3＜0，即x2+lnx＜x3，x∈（1，+∞）
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）=x3图象的下方（9分）

（Ⅲ）当n=1时，左边=x++2，右边=x++2，不等式成立；
当n≥2时，[h（x）]n-h（xn）=（x+）n-（xn+）
=[Cn1（xn-2+）+Cn2（xn-4+）+…+Cnn-1（+xn-2）]
由已知，x＞0
∴[h（x）]n-ln（xn）≥Cn1+Cn2+…+Cnn-1=2n-2
∴[h（x）]n+2≥h（xn）+2n．（15分）