Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，一条斜率等于1的直线L与圆C交于A，B两点．
（1）求弦AB最长时直线L的方程
（2）求△ABC面积最大时直线L的方程
（3）若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围．

Answer

（1）欲求弦AB最长时直线L的方程，依据圆的特征：圆的直径是最长的弦，只须求出l过圆心时的方程即可；
（2）欲求△ABC面积最大时直线L的方程，因其两腰定长，故只须顶角为直角时面积最大，最后利用点到直线的距离公式求解即可；
（3）将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系AB的中点坐标，最后利用|OM|＜即可求得截距范围，从而解决问题．
【解析】
（1）∵L过圆心时弦长AB最大，圆心坐标为（1，-2），∴L的方程为x-y-3=0（4分）
（2）△ABC的面积，
当∠ACB=时，△ABC的面积S最大，
此时△ABC为等腰三角形
设L方程为y=x+m，则圆心到直线距离为
从而有
m=0或m=-6则L方程为x-y=0或x-y-6=0（8分）
（3）设L方程为y=x+b（4）
由
设A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点的横坐标为方程（*）的解，
由
AB的中点坐标为M
AB=
由题意知：|OM|＜⇒b2+3b-4＜0⇒-4＜b＜1（14分）