Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

Answer

以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐标
（1）通过=0，证明EF⊥CD．
（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z），由，推出=（1，-2，1），
利用cos＜，＞═=-．设DB与平面DEF所成角为θ，求出sinθ=．
【解析】
以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=a，则D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
E（a，，0），P（0，0，a），F（，，）．
（1）证明：∵=（-，0，）•（0，a，0）=0，
∴⊥，∴EF⊥CD．
（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z），
由，得即，
取x=1，则y=-2，z=1，
∴=（1，-2，1），
∴cos＜，＞═=-．
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ=．