Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为CC₁的中点．
（1）求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；
（2）求二面角F-DE-C的余弦值．

Answer

（1）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，先求出平面ABCD的一个法向量为，设EF与的夹角为θ，求出此角的余弦值，根据EF与平面ABCD所成的角与θ互补求出所求即可；
（2）先求出与的坐标，设平面DEF的一个法向量为m，则m•=0，m•=0，建立两个等式关系，求出m，利用两法向量的夹角公式求出cos＜m，n＞，即可得到二面角F-DE-C的余弦值．
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（1，2，0），F（0，2，2）．
（1）=（-1，0，2）．
易得平面ABCD的一个法向量为n=（0，0，1），
设EF与n的夹角为θ，
则cosθ═，
∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为．
（2）=（-1，0，2），=（0，2，2）．
设平面DEF的一个法向量为m，则m•=0，m•=0，
可得m=（2，-1，1），∴cos＜m，n＞==，
∴二面角F-DE-C的余弦值为．