Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）判断直线B₁P与平面ACC₁A₁是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

Answer

1、根据公式求解即可．2、利用空间直角坐标系，根据向量可以证明．3、借用（2）中的坐标系，利用法向量求解．
【解析】
（1），（3分）
（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，（4分）
则A，C，B1，P的坐标分别为；（6分）
∴，
∴B1P不垂直AC；
∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（8分）

（3），
由BC1⊥B1P，得，
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC1⊥B1C∴BC1⊥面CB1P；
∴是面CB1P的法向量；（10分）
设面C1B1P的法向量为，
由得，（12分）
设二面角C-B1P-C1的大小为α，则，
∴二面角C-B1P-C1的余弦值大小为．（14分）