Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长．

Answer

法一（Ⅰ）D为AA1中点，证明B1C1⊥CD，CD⊥DC1，推出CD⊥平面B1C1D，即可证明平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，
说明∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角为60°，通过面积求AD的长．
法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴和建立空间直角坐标系．通过计算，证明CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），求出平面B1CD的法向量，平面，
利用求出a的值，即可．
解法一：（Ⅰ）∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，∴B1C1⊥A1C1，
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，
∴B1C1⊥平面ACC1A1．
∴B1C1⊥CD①（3分）
由D为中点可知，DC=DC1=，
∴DC2+DC12=CC12即CD⊥DC1②（5分）
由①②可知CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．（6分）
（Ⅱ）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，
由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1-DC-C1的平面角，（8分）
∴∠B1EC1=60°．
由B1C1=2知，，（10分）
设AD=x，则．∵△DC1C1的面积为1，∴，
解得x=．（12分）
解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴和建立空间直角坐标系．
则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）
即
由，
得CD⊥C1B；
由
得CD⊥DC1；又DC1∩C1B=C1，
∴CD⊥平面B1C1D．又CD⊂平面B1CD，
∴平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），，
设平面B1CD的法向量为．
则由．
得，又平面，
则由，
故AD=．（12分）