Question

已知动圆P与定圆B：x²+y²+2x-35=0内切，且动圆经过一定点A（1，0）．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）过点B（圆心）的直线与点P的轨迹交与M，N两点，求△AMN面积的最大值．

Answer

（1）定圆B的圆心为B（-1，0），半径r=6，因为动圆P与定圆B内切，且动圆P过定点A（1，0），所以|PA|+|PB|=6．由此能求出椭圆的方程．
（2）由题意设直线l的方程为my=x+1，与点P的轨迹方程联立，得（8m2+9）y2-16my-64=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，，由此能求出△AMN面积的最大值．
【解析】
（1）定圆B的圆心为B（-1，0），半径r=6，
因为动圆P与定圆B内切，且动圆P过定点A（1，0）
所以|PA|+|PB|=6．
所以动圆圆心P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．
∴所求椭圆的方程为．（5分）
（2）由题意设直线l的方程为my=x+1，
与点P的轨迹方程联立，得（8m2+9）y2-16my-64=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴，
令，则m2=t2-1，
∴，
∵在[1，+∞）上单调递增，
∴，
∴△AMN面积的最大值为．