Question

△ABC中，角A、B、C的对边依次为a、b、c．已知a=3，b=4，外接圆半径，c边长为整数，
（1）求∠A的大小（用反三角函数表示）；
（2）求边长c；
（3）在AB、AC上分别有点D、E，线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，求线段DE长的最小值．

Answer

（1）根据正弦定理，利用a和外接圆半径求得sinA，进而求得A．
（2）由（1）中的sinA，求得cosA，再利用余弦定理求得c．
（3）根据三边的关系判断三角形为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得AD•AE的值，根据余弦定理的关系式，根据均值不等式求得DE的最小值．
【解析】
（1），
又b＞a∴A为锐角，故
（2），由余弦定理得，即
∴c=5或但c为整数，∴c=5
（3）∵32+42=52，∴∠C=90°设AD=x，AE=y，则
∴xy=10

等号当且仅当时成立
∴DEmin=2