Question

如图，F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．
（1）当K取不同数值时，求直线l与抛物线交点的个数；
（2）如直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：K_FA+K_FB是定值
（3）在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l，如l
与抛物线相交于A、B两点，均能使得k_MA•k_MB为定值，有则找出满足条
件的点M；没有，则说明理由．

Answer

（1）设代入y2=2px，得：，
然后结合k的取值和根的判别式求直线l与抛物线交点的个数．

（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），，
由此可求出KFA+KFB是定值0．

（3）如存在满足条件的点M（t，0），
使得KMA•KMB=，
仅当t=0，即M（0，0）时，KMA•KMB=4．
【解析】
（1）设代入y2=2px
得：（*）1k=0，一个交点，2k≠0，△=-4p2（k2-1），
△＞0，即k∈（-1，0）∪（0，1）两个交点
△=0，k=±1时一个交点
△＜0，k＜-1或k＞1无交点
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），
=，
斜率和为定值0
（3）如存在满足条件的点M（t，0），使得KMA•KMB为定值，
=
仅当t=0，即M（0，0）时，KMA•KMB=4