Question

已知：正数数列{a_n}的通项公式a_n=（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=，确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）（理）数列{C_n}，满足C₁＞-1，C₁≠，C_n+1=，其中p为第（2）小题中确定的正常数，求证：对任意n∈N*，有C_2n-1＞且C_2n＜或C_2n-1＜且C_2n＞成立．
（文）设{b_n}是满足第（2）小题的等比数列，求使不等式-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n≥2010成立的最小正整数n．

Answer

（1）首先对数列{an}的通项公式进行变形，由分析an随n的变化规律再结合n∈N*即可获得问题的解答；
（2）结合条件充分利用等比数列的性质：等比中项即可获得含参数的方程，解方程即可获得参数的值，最后要注意参数的验证；
（3）对（理）首先结合（2）的结论对条件进行化简，然后对化简结果结合结论进行化简，
利用数学归纳法可以证明对，且＜0，进而即可获得问题的解答；
对（文）首先要结合p的取值不同进行分类讨论，其中左边利用等比数列的前n项和公式计算即可．注意下结论．
【解析】
（1）an=2+，随n的增大而减小，
∴{an}中的最大项为a1=4．
（2）bn=，
{bn}为等比数列
∴b2n+1-bnbn+2=0（n∈N*）∴[（2+p）3n+1+（2-p）]2-[（2+p）3n+（2-p）][（2+p）3n+2+（2-p）]=0（n∈N*）
∴（4-p2）（2•3n+1-3n+2-3n）=0（n∈N*）
∴-（4-p2）•3n•4=0（n∈N*）
∴p=±2，
反之当p=2，bn=3n时，{bn}为等比数列；p=-2，bn=1时，{bn}为等比数列
∴当且仅当p=±2时，{bn}为等比数列．
（3）（理）按题意cn+1=
∵c1＞-1，c2＞0，进而当n≥2时，cn＞0
cn+1-
∵c1≠，
∴由数学归纳法，对n∈N*，cn≠，且＜0
特别有（n∈N*）
∴c2n-1＞且c2n＜或c2n-1＜且c2n＞．
（文）
若p=-2，则bn=1（n∈N*）-b1+b2-+（-1）nbn≥2010的n不存在；
若p=2，则bn=3n（n∈N*）-b1+b2-+（-1）nbn≥2010⇔≥2010
等价于（-3）n-1＞2680，
等价于（-3）n＞2681，
∴n为偶数，∵36=729，38=6561
∴当p=2时，n的最小值为8；当p=-2时，满足条件的n不存在．