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对于数列{xn},如果存在一个正整数m,使得对任意的n(n∈N*)都有xn+m=...

对于数列{xn},如果存在一个正整数m,使得对任意的n(n∈N*)都有xn+m=xn成立,那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列,m的最小值称作数列{xn}的最小正周期,以下简称周期.例如当xn=2时,{xn}是周期为1的周期数列,当manfen5.com 满分网时,{yn}的周期为4的周期数列.
(1)设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an(n∈N*),a1+a,a2=b(a,b不同时为0),且数列{an}是周期为3的周期数列,求常数λ的值;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=(an+1)2
①若an>0,试判断数列{an}是否为周期数列,并说明理由;
②若anan+1<0,试判断数列{an}是否为周期数列,并说明理由.
(3)设数列{an}满足an+2=-an+1-an(n∈N*),a1=1,a2=2,bn=an+1,数列{bn}的前n项和Sn,试问是否存在p、q,使对任意的n∈N*都有manfen5.com 满分网成立,若存在,求出p、q的取值范围;不存在,说明理由.
(1)直接利用数列{an}是周期为3的周期数列以及an+2=λ•an+1-an可以推得(λ+1)(an+2-an+1)=0即可求常数λ的值; (2)先利用4Sn=(an+1)2求得an-an-1=2或an=-an-1(n≥2). ①由an>0得an-an-1=2(n≥2),求出数列{an}的通项公式即可判断数列{an}是否为周期数列; ②由anan+1<0的an=-an-1(n≥2),求出数列{an}的通项公式即可判断数列{an}是否为周期数列; (3)先由数列{an}满足an+2=-an+1-an(n∈N*),推得数列{an}以及数列{bn}是周期为3的周期数列,求出数列{bn}的前3项,即可求出数列{bn}的前n项和Sn以及数列{bn}的前n项和Sn的取值范围,即可求出对应的p、q的取值范围. 【解析】 由(1)数列{an}是周期为3的数列, 得an+3=an,且⇒(λ+1)(an+2-an+1)=0,即λ=-1. (2)当n=1时,s1=a1,4s1=(a1+1)2⇒a1=1, 当n≥2时,4an=4sn-4sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2.⇒(an-1)2=(an-1+1)2,即an-an-1=2或an=-an-1(n≥2). ①由an>0有an-an-1=2(n≥2),则{an}为等差数列,即an=2n-1, 由于对任意的n都有an+m≠an,所以数列{an}不是周期数列. ②由anan+1<0有an=-an-1(n≥2),数列{an}为等比数列,即an=(-1)n-1, 即an+2=an对任意n都成立. 即当anan+1<0时是{an}周期为2的周期数列. (3)假设存在p,q.满足题设. 于是⇒an+3=an,又bn=an+1则bn+3=bn, 所以{bn}是周期为3的周期数列,所以{bn}的前3项分别为2,3,-2. 则sn=, 当n=3k时,=1; 当n=3k-2时,=1+⇒1<≤2; 当n=3k-1时,=1+⇒1<, 综上1≤≤, 为使p≤q恒成立,只要p≤1,q即可. 综上,存在p≤1,q满足题设.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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