Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°．
（I）求证：DE∥平面PBC；
（II）求证：DE⊥PC；
（III）求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值．

Answer

（I）欲证DE∥平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证DE与平面PBC内一直线平行即可，易证四边形DCBE是平行四边形，则ED∥BC，而DE⊄面PBC，BC⊂面PBC，满足定理所需条件；
（II）欲证DE⊥平面PFC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证DE与平面PFC内两相交直线垂直，连接EC，由（I）知，CD∥AE且CD=AE，又AD=DC，则四边形ADCE是菱形，连接AC交DE于F，连接PF，则DE⊥AC，DE⊥PF，AC∩PF=F，满足定理所需条件，又∵PC⊂平面PFC，则DE⊥PC．
（III）根据面面垂直的判定定理可知平面PFC⊥平面BCDE，过点P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面BCDE，连接DH，则DH为PD在平面BCDE上的射影，则∠PDH就是直线PD与平面BCDE所成的角，在Rt△PHF中，求出PH，在Rt△PHD中，求出此角的正弦值即可．
证明：（I）∵E是AB的中点，∴，
又∵且DC=EB
∴四边形DCBE是平行四边形，∴ED∥BC
∵DE⊄面PBC，BC⊂面PBC，∴DE∥平面PBC．（4分）

（II）连接EC，据（I）知，CD∥AE且CD=AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
连接AC交DE于F，连接PF，
则DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC⊂平面PFC，∴DE⊥PC．（8分）

（III）∵DE⊥平面PFC，DE⊂平面BCDE，
∴平面PFC⊥平面BCDE，且两平面交于AC，
过点P作PH⊥AC于H，则PH⊥平面BCDE，连接DH，则DH为PD在平面BCDE上的射影，
∴∠PDH就是直线PD与平面BCDE所成的角．（11分）
由（II）知，∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角，∴∠PFC=120°，∴∠PFA=60°．
设AD=AE=BC=DE=a，则
在Rt△PHF中，
∴在Rt△PHD中，（14分）