Question

二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值．

Answer

（I）x满足f（x-4）=f（2-x）因此代入求解的到a与b的关系，再利用相切得到另一个关系即可求出a，b．
（II）把“当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立”这个不等式恒成立问题转化为“不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）”这个我们比较熟悉的解集问题．根据函数满足的关系式代入得到a与b的关系式，对于不等式恒成立进行转化．
【解析】
（I）∵f（x-4）=f（2-x），∴b=2a
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴方程组有且只有一解；
即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根，
∴△=（b-1）2=0
∴．
∴函数f（x）的解析式为．（6分）
（其它做法相应给分）
（II）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，
∴不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]（m＞4）．
即的解集为[4，m]．
∴方程的两根为4和m，
即方程x2-2tx+t2-2t=0的两根为4和m．
∴，
解得t=8，m=12∴t和m的值分别为8和12．（13分）