Question

数列{a_n}、{b_n}满足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比数列．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）n取何值时，a_n-b_n取到最小正值？试证明你的结论．

Answer

（1）利用已知，可求出{an+1-an}的第三项与公差，{bn-2}的第三项与公比，代入等差和等比数列的通项公式，即可求出an+1-an与bn-2的表达式，再利用叠加法转化为等差数列求和，从而求出an与bn；
（2）利用数学归纳法或函数单调性求an的最小值．
【解析】
（I）设cn=an+1-an，数列{an+1-an}的公差为d，
则c3=a4-a3=-2，c4=a5-a4=-1，
∴d=c4-c3=1，
∴cn=c3+（n-3）=n-5，
∴an+1-an=n-5
∴（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a5-a4）+（a4-a3）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴，
∴；（4分）
设dn=bn-2，数列{bn-2}的公比是q，则d3=b3-2=4，d4=b4-2=2，
∴，
∴，
∴bn=2+25-n（n∈N*）（7分）．
（II）a1-b1=-5，a2-b2=-1，a3-b3=a4-b4=a5-b5=0，
，
猜想：n=6时，a6-b6取到最小正值．（9分）
下面用数学归纳法给以证明：
（1）当n=7时，；
（2）假设n=k（k≥7，k∈N*）时，，
当n=k+1时，
=，
又∵，
即，
∴n=k+1时，猜想成立．
由（1）、（2）知，对任意不少于7的正整数n，均有．
综上所述，n=6时，a6-b6取到最小正值．（14分）
（用函数单调性证明相应给分）