Question

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；
（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围．

Answer

（I）设椭圆方程为，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，，由此可求出椭圆方程．
（II）⇔，若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．
可设直线l：y=kx+m（k≠0），由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，然后利用根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（III）由题设条件可推出，即，由4k2+3＞m2得4k2+3＞n2（3+4k2）2，即，要使k存在，只需，由此可推导出n的取值范围．
【解析】
（I）设椭圆方程为，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，解得
∴所求椭圆方程为（4分）
（II）∵条件等价于
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾．
∴可设直线l：y=kx+m（k≠0）
由
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
由△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0得4k2+3＞m2．（6分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为Q（x，y）
则．
又∵∴
解得：m=-3-4k2．（8分）
（将点的坐标代入亦可得到此结果）
由4k2+3＞m2得，4k2+3＞（3+4k2）2得，4k2＜-2，这是不可能的．
故满足条件的直线不存在．（10分）
（III）据（II）有，即，
解得，m=-n（3+4k2），
由4k2+3＞m2得4k2+3＞n2（3+4k2）2，即，要使k存在，只需
∴n的取值范围是（14分）