Question

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0；a₁，a₂，…，a₁₁是该圆过点（3，5）的11条弦的长，若数列a₁，a₂，…，a₁₁是等差数列，则数列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值为    ．

Answer

把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，当a1为最短的一条弦，a11为最长的一条弦时，数列a1，a2，…，a11的公差达到最大，根据图形求出最短的弦长得到数列首项a1的值，最长的弦为圆的直径，由直径的值即可得到a11的值，根据等差数列的性质可知a11减去a1的值等于10倍的公差d，列出关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的最大值．
【解析】
把圆的方程化为标准方程得：（x-3）2+（y-4）2=25，
所以圆心A（3，4），圆的半径r=5，
根据题意画出图象，如图所示：
得到弦DE为过点F（3，5）最长的弦即为圆的直径等于10，则a11=10，
弦BC为过点F（3，5）最短的弦，又|AB|=5，|AF|=1，
则|BC|=2|BF|=2=4，即a1=4，
根据等差数列的性质得：10d=10-4，解得d=1-．
则数列a1，a2，…，a11的公差的最大值为1-．
故答案为：1-