Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_2k-P_2k（k∈N^*）的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

Answer

（1）由题意及2（Sn+1）=an2+an（n∈N*），令n=1，求得数列的首项，在利用已知数列的前n项和求出数列的通项；
（2）数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn（n∈N*），可以求出数列bn的通项公式，再有数列{cn}满足，利用分组求和求出数列cn的前n项的和；
（3）由题意及（2）可知n为偶数，即，由于dn+2-dn=2n+2-47分析该式即可．
【解析】
（1）n=1，2（S1+1）=a12+a1⇒a1=2．
，
两式相减，得2an=an2-an-12+an-an-1
∵an＞0，∴an-an-1=1．
⇒{an}为等差数列，首项为2，公差为1
∴an=n+1（n∈N*）．
（2）∵{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn=2n（n∈N*），
n为偶数时，Tn=（a1+a3++an-1）+（b2+b4++bn）
==；
n为奇数时，Tn=Tn-1+cn，
==，
（3）∵n=2k为偶数，
∴Tn=，
设，
∵dn+2-dn=2n+2-47，
∴d4＜d6＜d8＜d10＜2011＜d12＜d14＜…，且d2＜2011
∴dn≠2011，即Tn-Pn≠2011（n为偶数），
∴乙同学的观点正确．