Question

设F₁（-c，0）、F₂（c，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以F₁F₂为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF1F2=5∠PF2F1，进而求得∠PF1F2和∠PF2F1，在Rt△PF1F2分别表示出|PF1|和|PF2|，进而根据椭圆的定义表示出a，进而求得a和c的关系，即椭圆的离心率．
【解析】
∵P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，
∴∠F1PF2=90°
∵∠PF1F2=5∠PF2F1，
∴∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°
∴|PF1|=|F1F2|sin∠PF2F1=2c•sin75°，∴|PF2|=|F1F2|sin∠PF1F2=2c•sin15°，
∴2a=|PF1|+|PF2|=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=c
∴a=c
∴e==
故选B．