Question

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有，则关于函数f（x）有
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）＜f（x₂）；
（4）对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），
上述四个命题中正确的有    ．

Answer

观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，即可得到结合已知条件②即可得到（2）是正确的；对于（3）（4）对条件中的两个变量x1，x2交换位置可得两式相加即可得到结论．
【解析】
由于命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，
对于命题（1）（2），令x1=x，x2=1-x，结合①则有，等号当时成立
又由②知，由此知=1，即f（x）=f（1-x），故（2）对；
对于（3）（4），将②中的变量x1，x2交换位置可得
故有等号当且仅当=1，=1时成立
 又由①即基本不等式知等号当且仅当=1，=1时成立
故有=1，即对任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），（4）正确
综上知（2）（4）正确．
故答案为（2）（4）．