Question

已知函数，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n）+f′（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）．
（ⅰ）当时，数列{b_n}是否为等差数列？若是，请求出数列{b_n}的通项b_n；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当时，求证：．

Answer

（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数．代入条件找到数列{an}的递推公式，再对递推公式利用构造法找到一个等比数列的通项，就可求出数列{an}的通项an；
（Ⅱ）（ⅰ）先求出数列{bn}的递推公式，再把代入即可证明数列{bn}是等差数列．
（ⅱ）先求出数列{bn}的递推公式，转化为．再利用数学归纳法证得，即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，（1分）
∴，
即an+1+2（n+1）+1=2（an+2n+1）．（3分）
∵a1=1，∴数列{an+2n+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴an+2n+1=4•2n-1，即an=2n+1-2n-1．（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵bn+1=2f（bn）=，
∴．∴当时，．
假设，则bk+1=bk．
由数学归纳法，得出数列{bn}为常数数列，是等差数列，其通项为．（8分）
（ⅱ）∵，∴．
∴当时，．
假设，则．
由数学归纳法，得出数列（n=1，2，3，）．（10分）
又∵，
∴，
即．（12分）
∴==．
∵，
∴．（14分）