Question

设函数f（x）=-x³+2x²-x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求M的最小题．

Answer

（1）求出函数f（x）的导数，通过讨论导数的正负，令导数大于零得出函数的单调增区间，令导数小于零得出函数的单调减区间；
（2）原问题可化为函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差小于或等于M，由（1）的结论，列出函数f（x）在区间[0，1]上的单调性的表格，求出其最小值为，最大值为f（0）=f（1）=2，故M≥||=，故M的最小值为．
【解析】
（1），
由．
故函数f（x）的单调增区间是（），单调递减区间是（），（1，+∞）．（7分）
（2）根据（1）的讨论列下表：

x （） 1
f/（x） - +
f（x） 2 极小值 2

由此可知，函数f（x）在区间[0，1]的最小值为，最大值为f（0）=f（1）=2．
对任意的，
故对任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，则M的最小值为．（13分）