Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x²=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）求线段AB中点P的轨迹方程；
（2）若，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer

（1）先把直线l的方程与抛物线的方程联立，求出点A、B之间的等量关系，再利用中点坐标公式即可求线段AB中点P的轨迹方程；（注意范围的限制）
（2）先利用（1）中求出的点A、B之间的等量关系，直接代入，即可求直线l在y轴上截距的取值范围．（注意范围的限制）
【解析】
（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
点P（x，y），由，（2分）
得，依题意，（4分）
故所求的轨迹方程为x=4（y＞4）．（7分）
（2）由（1）知，（2分）
由得x1x2+y1y2=-4b+b2≤60（4分）
解得-6≤b≤10（6分）注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10．（7分）