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已知函数f(x)=log4(4x+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数. (1)...

已知函数f(x)=log4(4x+1)-(k-1)x(x∈R)为偶函数.
(1)求常数k的值;
(2)当x取何值时函数f(x)的值最小?并求出f(x)的最小值;
(3)设manfen5.com 满分网(a≠0),且函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
(1)直接利用偶函数的定义即f(-x)=f(x)对所有x∈R都成立,代入整理即可求常数k的值; (2)先利用(1)的结论对函数进行转化,再利用基本不等式求出真数的取值范围,代入原函数即可求出f(x)的最小值; (3)把两方程联立,转化为求对应方程只有一个根时满足的条件即可.(注意本题涉及到对数形式,须满足真数大于0这一条件). 【解析】 (1)∵f(x)为偶函数, 故log4(4-x+1)+(k-1)x=log4(4x+1)-(k-1)x对所有x∈R都成立,(2分) 即(2k-3)x=0对所有x∈R都成立, ∴.(4分) (2)由(1)得,即.(2分) , 故当且仅当x=0时,(3分) f(x)的最小值是.(5分) (3)由方程(*) 可变形为,由②得或, 令2x=t,则,或 由①得,设(2分) ∴当a>0时,,(4分) 当a<0时,h(0)=-1<0, ∴不存在, 当时,或a=-3, 若,则t=-2,不合题意,舍去,若a=-3,则,满足题意,(5分) ∴当a=-3或a>1时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点.(7分)
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考点分析:
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方案③:从A修一条普通公路到B,再从B修一条普通公路到高速公路,也只修一个立交出入口.请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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