Question

如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．
（1）（文）求证AE与PB是异面直线．
（理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A-EBC的体积．

Answer

（1）（文）假设AE与PB共面，设平面为α，用反证法证明，推出矛盾这与P∉平面ABE矛盾，即可证明AE与PB是异面直线．
（理）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，说明∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，解三角形求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
（2）求出底面ABC的面积，求出E到平面ABC的距离，即可求三棱锥A-EBC的体积．
【解析】
（1）（文）证明：假设AE与PB共面，设平面为α，
∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即为平面ABE，
∴P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线．
（理）取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．
∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，
∴AF=，AE=，EF=；
cos∠AEF==，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为．
（2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA=1，
VA-EBC=VE-ABC=×（×2×2×）×1=．