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已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x...

已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
(1)不等式f(x)≤3就是|x-a|≤3,求出它的解集,与{x|-1≤x≤5}相同,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,根据f(x)+f(x+5)的最小值≥m,可求实数m的取值范围. 【解析】 (1)由f(x)≤3得|x-a|≤3, 解得a-3≤x≤a+3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以解得a=2.(6分) (2)当a=2时,f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5), 于是 所以当x<-3时,g(x)>5; 当-3≤x≤2时,g(x)=5; 当x>2时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m 即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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