Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁．
（2）求证：MN⊥平面A₁B₁C．
（3）求三棱锥M-A₁B₁C的体积．

Answer

（Ⅰ）连接BC1，AC1，通过M，N是AB，A1C的中点，利用MN∥BC1．证明MN∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）说明四边形BCC1B1是正方形，连接A1M，CM，通过△AMA1≌△AMC．说明MN⊥A1C然后证明MN⊥平面A1B1C．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A1B1C的高．在直角△MNC中．求出．即可解得．
（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．
又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．
（Ⅱ）【解析】
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC1B1是正方形．
∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．
连接A1M，CM，△AMA1≌△BMC．
∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．
∵B1C与A1C相交于点C，
∴MN⊥平面A1B1C．
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A1B1C的高．
在直角△MNC中，，∴．
又．．