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设b>0,椭圆方程为,抛物线方程为x2=8(y-b).如图所示,过点F(0,b+...

manfen5.com 满分网设b>0,椭圆方程为manfen5.com 满分网,抛物线方程为x2=8(y-b).如图所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
(1)先求出G点的坐标,利用导数求出过点G的切线斜率,得到过点G的切线方程,根据由切线方程求得的F1点的坐标,与用椭圆方程得F1点的坐标应该相同,求出b,椭圆和抛物线的方程可得. (2)以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个,以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个,以AB为直径的圆与抛物线有两个交点,根据直径对的圆周角等于直角,以∠APB为直角的Rt△ABP有两个.所以,共得到4个直角三角形. 【解析】 (1)由x2=8(y-b)得, 当y=b+2得x=±4,∴G点的坐标为(4,b+2),,y'|x=4=1, 过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2, 令y=0得x=2-b,∴F1点的坐标为(2-b,0),由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0), ∴2-b=b即b=1,即椭圆和抛物线的方程分别为和x2=8(y-1);(7分) (2)∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个, 同理∴以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个; 若以∠APB为直角,则点P在以AB为直径的圆上,而以AB为直径的圆与抛物线有两个交点. 所以,以∠APB为直角的Rt△ABP有两个; 因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形.(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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